Sistema Temperado

Escala temperada o temperamento igual, así se le llama comúnmente al sistema temperado de doce notas, que es el sistema de afinación más utilizado en el Occidente. Este se basa en el semitono temperado y sólo respeta la consonancia de 8a, a diferencia de la afinación pitagórica en la que se estaban las 8as y 5as.

La razón por la que este sistema es tan universal es por que tiene el poder de modular fácilmente a otras tonalidades.

En aquella época existían muchos problemas de acuerdo a la afinación ya que no sólo estaba el de modular a diferentes tonalidades, sino que algunos afinaban según el sistema pitagórico, otros al justo. Todos estos problemas se veían reflejados cuando llegaba la hora del acompañamiento, cada músico afinaba como podía y al momento de conjuntar no era un sonido muy grato.

Muchos historiadores atribuyen la invención de este sistema a Johann Sebastian Bach, inclusive a veces se le es llamado erróneamente el sistema de Bach, ya que el suyo era algún tipo de sistema mesotónico circular.

Sin el sistema temperado no se hubiera podido tener el desarrollo moderno de la armonía, y la interpretación de diversos instrumentos como el piano moderno y la guitarra.
A las notas con sostenidos y bemoles se les llama notas enarmónicas, de las cuales sólo hay 5., aunque no literalmente ya que matemáticamente hablando las notas enarmónicas tienen la misma frecuencia. Aquí las enarmonías son una especie de reglas o leyes heredadas de otros sistemas musicales.

Aquí vemos una gráfica comparativa en la los puntos negros señalan el sistema temperado y el azul el sistema pitagórico.

Las mayores diferencias se pueden ver en las notas alteradas, más cuando llegan a SOL#, sin embargo cuando llegamos a escuchar los sonidos naturales con la escalada diatónica resulta casi indistinguible sin importar la afinación (entre pitagórica o temperada). 

Fuentes: http://www.enchufa2.es/archives/musica-y-matematicas-la-afinacion-temperada.html, http://lamusicadelasgalaxias.blogspot.mx/2014/08/sistema-temperado-temperamento-igual.html

Sección Áurea

También conocida como la regla áurea, divina proporción, razón dorada, número áureo o de oro, es reconocida por ser una división armónica.
Es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta, en el que uno es más largo que el otro; que establece que la relación entre lo pequeño y lo grande es la misma que la relación entre lo grande y el todo.

A lo largo del tiempo los artistas han buscado una forma en la que se pueda lograr una división a la perfección de las cosas, sin embargo no había idea alguna de la proporción estas debían tener. 

No fue hasta 1497 cuando un fraile italiano de nombre Lucca Pacioli nos reveló el secreto de la belleza en su libro "La divina Proporción" que básicamente nos cuenta lo que hoy conocemos como la regla de tres, la cual no tardo tiempo en ser aceptada por la población de la época, entre ellos los comerciantes que la ocupaban con mucha más frecuencia.

Con base a la regla de tres llegó la Escala Armónica Pitagórica, esta se comenzó a relacionar con el diseño visual y entonces se pudo obtener lo que parecía una fórmula perfecta que relacionaba las artes de la música, la pintura y la arquitectura.

Una de las cuestiones principales para entender esta proporción es la secuencia de Fibonacci, que es una serie infinita de números en la que cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55. 

De todas las artes en la música probablemente es un poco más complicado relacionar la sección áurea sin embargo un claro ejemplo es en la fabricación de instrumentos, en su mecanismo.
En el piano se ve reflejada la secuencia de Fibonacci en las teclas de este; en una octava tenemos 8 teclas blancas y 5 teclas negras, las cuales aparecen en grupos de 2 y 3.

La serie es 2,3,5,8.  

Las otras formas en las que podemos aplicar estar proporciones áureas es en la composición, donde se da en la totalidad de la obra, partiendo de una sección y directamente según a la serie de Fibonacci.

1. En la totalidad de la canción es la forma más habitual para aplicar la sección áurea, donde se pretende buscar un punto culminante donde se pueda fusionar un fuerte contraste rítmico, melódico o armónico, o bien enlazar algunas ideas totalmente diferentes.

Imaginemos a nuestra canción en una línea de tiempo, la cual dura "x" tiempo. Debemos tener claro que la sección más larga tiene que corresponder al 61.8%, y el 38.2% restante a la sección más corta; el punto phi (número áureo) se calcula multiplicando el total de la pieza (ya sea por compases o segundos) y multiplicarlo por el O.618.

MOZART, Piano Sonata in C major, K. 279.  (Primer movimiento) 

En este movimiento hay 100 compases y está dividido en dos secciones. La de exposición que corresponde exactamente a 38 compases (38.2%), y la de desarrollo que dura 62 (61.8%). 

Esta áurea no sólo se encierra a la música clásica, sino también a otras bandas con las que tenemos mucho más contacto hoy en día, como Tool (con Lateralus) y Radiohead (con In Rainbows). 

Fuentes: https://violinesencantosuio.wordpress.com/about/245-2/el-hacer-no-circunscrito-en-la-musica/proporcion-aurea-en-arte-musica/

https://latablaarmonica.wordpress.com/2015/10/19/el-numero-de-oro-en-la-musica-en-busca-de-la-cancion-perfecta/.